\chapter{1924年玻色-爱因斯坦分布（Bose-Einstein Distribution）}
	
	\section{引言} 在量子统计力学中，玻色-爱因斯坦分布（Bose-Einstein Distribution）是描述全同玻色子体系在热平衡状态下粒子数分布的基本规律。该理论由萨特延德拉·玻色和阿尔伯特·爱因斯坦于1924年共同建立，为理解低温玻色-爱因斯坦凝聚现象提供了理论基础。
	
	\section{分布定律表述} 对于能量为$\varepsilon_i$的量子态，其平均占据数为： \begin{equation} \langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} - 1} \end{equation} 其中： \begin{itemize} \item $\mu$：化学势 \item $k$：玻尔兹曼常数 \item $T$：绝对温度 \end{itemize}
	
	\section{推导过程} \subsection{配分函数构建} 考虑$N$个全同玻色子组成的系统，巨正则系综的配分函数为： \begin{equation} \Xi = \prod_i \left( \sum_{n_i=0}^\infty e^{-n_i(\varepsilon_i - \mu)/kT} \right) \end{equation}
	
	\subsection{几何级数求和} 对每个量子态的求和构成无限几何级数： \begin{equation} \sum_{n_i=0}^\infty e^{-n_i(\varepsilon_i - \mu)/kT} = \frac{1}{1 - e^{-(\varepsilon_i - \mu)/kT}} \end{equation}
	
	\subsection{热力学量计算} 通过巨势$\Phi = -kT\ln\Xi$可得： \begin{equation} \langle n_i \rangle = -\frac{\partial \Phi}{\partial \varepsilon_i} = \frac{1}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} - 1} \end{equation}
	
	\section{物理意义} 当$\varepsilon_i \to \mu$时，占据数发散，对应玻色-爱因斯坦凝聚的相变临界点。该分布适用于光子气体、液氦超流等玻色系统。
